疫情防控，我们为生命护航（十）——数学防疫篇

   对大多数人来说，数学是什么？数学是一串串冰冷的数字；是一道道僵化死板的公式；是永远让你怀疑自己智商的考试分数？数学是抽象而晦涩的，是与疫病完全不搭边的高冷的存在？

   在数学家眼中，数学是什么？伽利略说：数学是上帝描写自然的语言；爱因斯坦说：纯数学使我们能够发现概念和联系这些概念的规律，这些概念和规律给了我们理解自然的钥匙。在数学家眼中，数学无所不能，是可以防控疫病的科学工具。

当疫病爆发时，大家都会有这样一些疑问：比如为什么接触过患病者的人需要被隔离？疫情爆发1个月后有多少人被感染？疫情的拐点什么时候能够到来？这些问题的答案，都有赖于数学的思维。

且看数学家如何运用数学模型来做出预测和解读。

用数学模型研究疫病的做法，最早可以追溯到18世纪初。那时候天花病毒正在肆虐欧洲，人们发现东方传入的人痘接种术似乎能够治愈这种疾病，但接种后仍有很高的死亡率，这引起了瑞士大数学家丹尼尔·伯努利的注意。他开始琢磨怎么用数学去描述天花的传播以及接种的功效。受限于时代，伯努利的想法比较朴素，他将人群分成感染者与未感染者，假定疾病治愈率与研究人群的年龄段相关，以此建立了数学方程。

   伯努利的模型类似于后来的SI模型，经过一番计算研究，伯努利得出结论：尽管有一定风险，人痘接种在统计上仍然能让人的寿命延长3年左右。

   虽然以现在的眼光看，伯努利的研究一点也不严谨，得出的结论也是显而易见的（接种疫苗有助于控制疾病传播），但伯努利是第一个尝试用数据和方程去分析疫病传播趋势、判断控制措施有效性的数学家，这种科学思维尤为珍贵，直到今天仍然是用数学方法研究疫病的最基本思想。

100多年后的20世纪初，用数学模型研究疫病的方法（后来发展为一门叫“数理流行病学”的学科）迎来了飞速发展，这很大程度上要归功于苏格兰军医麦肯德里克和生物化学家威廉·克马克。

麦肯德里克曾在印度服役，当时印度鼠疫横行，夺去了数十万人的生命。麦肯德里克用数学思维的方式，发现鼠疫的感染人数趋势和数学的某些函数曲线非常相像。他与生物化学家威廉·克马克合作，开始对鼠疫爆发的患病人数、患者生存天数等数据进行分析，最终提出了数理流行病学中里程碑式的模型：SIR模型。直到今天，绝大多数从数学角度分析疫病的研究都或多或少有这个模型的影子。

SIR模型示意图 | Perception Heallth

如何用SIR模型描述传染病？

SIR模型的基本概念并不难，即使完全没学过数学也能看懂：

S代表Susceptible，易感者，也就是可能被传染但还没有感染的人；

I代表Infected，感染者，即已经被传染但尚未死亡的人；

R代表Removed，移除者，他们有可能被感染后痊愈了，也有可能是因病死亡。

当然还有一个样本人数不变的假设，也就是易感者+感染者+移除者的人数之和假定不变。

有了这样一个数学模型，我们需要研究三个群体随时间的变化趋势——比如说，第1天有了3个感染者，到了第10天会有多少人感染？因痊愈或死亡产生的移除者又会有多少个？

        为了求出不同人群与时间的关系式，数学家引入了一组微分方程。它看起来很复杂，但这个唬人的玩意儿本质上和解“2+x=4”是一个道理，数学家的任务就是解出这个复杂方程里的S、I、R与时间t的关系函数。

SIR模型示意图 |模型的数学方程

微分方程解出来的结果不一定能用数学式子来表示，一般来说我们更习惯用下面这样的图像表示SIR模型的传染趋势：横轴代表时间，纵轴代表群体的人数。你可以很直观的看到，I代表的感染者数量随时间迅速增长，S代表的易感者相应变少，最后的结果是大部分被“移除”了（可能是治愈或者是病死），不再存在感染者。

SIR模型给出的传播趋势

SIR模型衍生出了SEIR、C-SEIR等多个变种模型，从而能更为精确地描述传染病的传播趋势。像SARS和最近的新型冠状病毒，用SEIR模型来描述它们的传播会更准确一些。

SEIR模型图示 E代表潜伏者

数学建模的作用：说到底，我们为什么要想方设法找到准确的数学模型来描述疫病呢？最重要的一个原因是，我们希望以此定量评估可能的感染人数和感染速度，并且分析出更为有效的防疫治疫措施。

在家隔离，是大家近来最熟悉的防疫措施，怎样用数学模型证明隔离能有效控制疫情传播呢？不妨假设有一个1000人的群体，其中有一个人不幸感染病毒后开始传播。在COSMOL等仿真软件里输入SIR模型的数学方程，可以得到下图的结果：未感染病毒的人数（蓝色曲线）不断下降，疫情在第五天达到顶峰，感染者数量（绿色曲线）达到总人数将近一半。

SIR模型对病毒传播的模拟结果

   然而，如果对80%的感染者采取隔离措施，也就是视为不再感染其他人的移除者（红色曲线），得到的疫情趋势图会发生很明显的变化——疫情在第六天达到顶峰，感染者的数量只会有不到200人，出现了大幅下降，这也就从数学角度证明了乖乖宅在家里对于控制疫病的重要性。

数学模型也能对不同的疾病控制措施的效果进行评估。2013年埃博拉疫情在非洲爆发，英国开始对来自高风险国家的入境人员进行筛查。然而有团队在建立数学模型后发现，只有7%的埃博拉感染者可能在国家边境被发现，加上病毒潜伏期也比较长，病毒携带者初期可能并没有表现出任何症状，最有效的措施还是在病毒发源地对感染者（以及疑似感染者）进行隔离来遏制病毒传播。正是通过这样的方式，数学模型在遏制疫病传播起到了越来越重要的作用。

在疫病面前，数学家们不用穿着厚厚的隔离服，也不用和病毒零距离接触。他们只要坐在电脑前面，设计一个精确的数学模型，就能将疫病的去向摸得一清二楚!

数学的魅力和意义或许正在于用简单的科学语言来探究本质规律，尽可能获得最接近真实的精确数据，并用这些科学发现智慧地解决生活中遇到的各种问题，为我们的生活服务。

其实数学不是只有公式，定理，考试题，而是人类理解世界的重要工具。原来数学如此重要。

下面选几道与新冠疫情相关的数学题，看看你会做吗？（答案附后）

[答案]

1.D    2.A    3.B

4.(1)2   4707   (2)26   27

5. [答案] (1) 由题意可得: y= 60x+100▪(10-x) +35▪(6-x) .

+70▪(x-2) = 1070- 5x (2≤x≤6);

(2) 由(1) 的函数可知，k= -5<0,

因此函数的值随x的增大而减小，

当x=6时，有最小值y= 1070- 5x6= 1040元.

因此当从汶川调运6吨到马尔康时，运费最低，为1040 元.